Miller_Rabin--大素数判定算法

一篇很好的Miller_Rabin讲解博客

费马小定理:对于一个素数$p$,对于任意整数$a$,若$\gcd(a,b)=1$,则$a^{p-1}\equiv1(mod p)$
如果要判断p是不是素数,就每次在$[2,p-1]$中随机x,如果$x^{p-1}\not\equiv1$则p不是素数。
但这还不够精确。
二次探测定理,对于一个奇素数$p$,如果$a^2\equiv1(mod p)$,则$a\equiv1(mod p)$或$a \equiv p-1 (mod p)$
我们可以把$p-1$分解成$2^t*u$,然后令$x[0]=a^u mod p$,$x[i]=x[i-1]^2 mod p$,则$x[t]=a^{p-1}$如果$x[i]=1$,则$x[i-1]$一定等于$1$或$p-1$,否则p不为素数。如果$x[t]\neq 1$,$p$同样不为素数。

当然2要特判。
每次判断错误率为$\frac{1}{4}$,判断$s$次后错误率为$(\frac{1}{4})^{s}$。
时间复杂度$O(slog_3n)$
如果p大,则乘法要用”类快速幂”计算。

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long long x;
long long f[128];
long long bigrand(long long l,long long r){
return (((long long)rand()<<31)+rand())%(r-l+1)+l;
}
long long mul(long long a,long long b,long long p){
long long c=0;
while(b){
if(b&1)c=(c+a)%p;
a=(a+a)%p;
b>>=1;
}
return c;
}
long long fpm(long long a,long long b,long long p){
long long c=1;
while(b){
if(b&1)c=mul(c,a,p);
a=mul(a,a,p);
b>>=1;
}
return c;
}
long long Miller_Rabin(long long x){
long long y=x-1,t=0;
if(x==2)return 1;
while(!(y&1)){y>>=1;++t;}
up(i,1,128){
long long k=bigrand(2,x-1);
f[0]=fpm(k,y,x);

up(j,1,t){
f[j]=mul(f[j-1],f[j-1],x);
if(f[j]==1&&f[j-1]!=1&&f[j-1]!=x-1){
return 0;
}
}
if(f[t]!=1)return 0;
}
return 1;
}
int main(){
long long n;
srand(2333);
n=read();
while(n){
--n;
x=read();
if(Miller_Rabin(x)){
printf("Yes\n");
}
else printf("No\n");

}
return 0;
}

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